Qual é a seqüência de Fibonacci? Por que é tão especial?

Anonim

A matemática é o estudo de padrões. Enquanto todos os padrões tendem a se conformar às rígidas regras da lógica, apenas alguns deles promovem a criatividade. É absurdo para mim como uma única equação de uma polegada pode momentaneamente possuir sua mão e levá-lo a desenhar as figuras mais requintadas. É notável como essas figuras complexas podem ser reduzidas a três símbolos e duas linhas paralelas. Eu uso o termo possuir porque, para este momento, fazemos cegamente o que as equações comandam, e confiando na profecia, começamos a marcar pontos, que no começo parecem inconectáveis.

No entanto, continuamos a concordar. As ferramentas tilintam e a régua obnóxia se recusa a ser levantada até que a impressão no papel seja essencialmente uma coleção de pontos infinitos; Pontos pretos deixados pelo lápis e pontos brancos bicados pela bússola. Os pontos infinitos destravam-se de forma rápida e obediente, exatamente como a lógica exige. Enquanto o minimalista se deleita em um círculo, o abstracionista se deleita em um poliedro.

Depois, há padrões numéricos, uma sequência de números que se repetem periodicamente. Os seres humanos são inerentemente criaturas que buscam padrões. De fato, somos tão hábeis em conectar os pontos que esses padrões não são exclusivos aos pontos, mas também são estendidos aos contextos. A aparência de um padrão ou figura com um vício ou uma virtude correlaciona a ocorrência dos dois. Eles têm sido a força motriz por trás de cultos em uma miríade de sociedades.

O símbolo dos Illuminati e uau! sinal (Crédito da foto: Quintendp099 & NAAPO / Wikimedia Commons)

Há um elemento de piedade que as pessoas há muito associam a certas figuras e grupos, como os Illuminati . Por outro lado, cientistas e matemáticos preferem associar uma forma de mistério intelectual a tais padrões. Considere o Uau! Sinal, um padrão de alfabetos recebidos inesperadamente entre números pelo radiotelescópio Big Ear de Ohio, insinuando atividade extraterrestre.

No entanto, existe também um padrão de números que incita não apenas mistério, mas santidade, pois emerge em lugares que nunca se esperaria. Considere este padrão - 13-3-2-21-1-1-8-5 - desenhado pelo curador do museu assassinado Jacques Saunière como uma dica para Tom Hanks em O Código Da Vinci .

Números de Fibonacci

Leonardo Pisano, vulgarmente conhecido como Fibonacci. (Crédito da foto: Dr. Manuel na Wikipédia em alemão / Wikimedia Commons)

Fibonacci era tremendamente fascinado pela matemática hindu-árabe. Naquela época, os europeus continuaram a usar o extenso conjunto de números romanos, enquanto os hindus e os árabes desfrutavam das virtudes do sistema numérico hindu-arábico - números da base 10 variando de 0 a 9 - por gerações. Ele decidiu trazer essas idéias para a Europa, publicando-as em seu trabalho altamente reverenciado Liber Abaci.

O livro se tornou uma lenda. No entanto, sua popularidade foi reduzida a apenas duas contribuições: primeiro, o sistema numérico, sem o qual os avanços da matemática moderna não teriam sido possíveis; e segundo, um problema hipotético, irrealista, sobre a criação de coelhos. Os números de Fibonacci apresentados em primeiro lugar como a solução para este problema.

Os misteriosos números de Fibonacci

Pode-se dividir a seqüência com qualquer número para obter tal padrão cíclico. Por exemplo, quando os números são divididos por 7, surge um período de 16 números. Da mesma forma, o comprimento do período é 20 quando o divisor é 5. Mesmo dividir por 1/3 resulta em uma longa fita de trechos recorrentes e idênticos. No entanto, os matemáticos não descobriram uma fórmula geral que prevê a duração de um período em que a sequência é dividida por um número específico.

Outra perplexidade é o infinito triângulos retângulos escondidos na sequência. Começando com 5, cada segundo número na sequência é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo lado mais longo é a soma de todos os lados do triângulo anterior e o lado mais curto é a diferença entre o número omitido e o lado mais curto do anterior triângulo. Uma explicação pictórica ajudará esses triângulos a serem melhor compreendidos.

O que é essa feitiçaria?

A utilidade da matemática abstrata tem sido o principal argumento no debate questionando se a matemática foi inventada ou descoberta. Existem teorias que ilustram a mais alta ordem de gênio e rigor matemáticos, mas são totalmente isoladas do mundo real. Por exemplo, Newton inventou o cálculo particularmente para determinar a equação da trajetória que a Terra estava seguindo em torno do Sol. É claro que o cálculo acabou sendo lucrativo em uma infinidade de outros domínios também, mas podemos dizer a mesma coisa sobre a hipótese de Riemann ?

No entanto, há casos raros em que a matemática abstrata altamente esotérica se torna aplicável. Por exemplo, Riemann desenvolveu seus absurdos conceitos de geometria curva na década de 1850, que pareciam inaplicáveis ​​até que Einstein os usou para redescobrir as leis da gravidade em sua Teoria Geral da Relatividade . A imprevisibilidade desses casamentos matemáticos ainda nos perturba.

Este é o caso da natureza mística dos números de Fibonacci também. Apesar de terem sido descobertos na Idade Média, eles foram descobertos e redescobertos, para a perplexidade de todos, em lugares que nunca esperávamos. Nosso fascínio pelos números de Fibonacci se estende a tal ponto que uma revista inteira é dedicada às suas peculiaridades, chamada de Fibonacci Quarterly.

Considere o triângulo de Pascal. Quando Pascal foi consultado por um jogador sobre as chances dos resultados de um dado e a natureza das apostas, ele inventou a teoria da probabilidade para resolver esses problemas. O triângulo de Pascal é um triângulo puro formado por coeficientes binomiais. O triângulo atua como uma tabela a que se refere enquanto expande a equação binomial.

O triângulo de Pascal. (Crédito da foto: RDBury / Wikimedia Commons)

No entanto, se você desenhar diagonais descendo o triângulo e somar os números que residem em cada diagonal individual, então a série de números equacionados com cada diagonal representa, como você deve ter imaginado, os números de Fibonacci. A teoria da probabilidade foi fundada 400 anos depois que Liber Abaci foi publicado.

Ou, considere o conjunto de Mandelbrot, uma função matemática que pode ser definida por um belo diagrama desenhado no plano complexo. O diagrama parece ser uma folha em forma de coração com botões minúsculos nas bordas. Esses botões são impregnados com espinhos incrivelmente finos. O diagrama representa um fractal, uma estrutura cuja cada parte é composta de si mesma. O que significa que se você continuasse ampliando, você perceberia que a estrutura se repetia em um loop infinito.

Mandelbrot define diagramas. (Crédito da foto: Wolfgang Beyer com o programa Ultra Fractal 3. / Wikimedia Commons)

À medida que ampliamos os botões nas bordas, vemos que o botão se expande para a folha original e três novas gemas emergem em suas bordas. Se continuássemos a dar zoom, ele testemunharia essa procissão e continuaria eternamente. No entanto, à medida que nos aprofundamos mais e mais, observamos que o número de espinhos em cada novo botão aumenta. O incremento em números imita um certo padrão; é a sequência de Fibonacci! Quem poderia ter previsto isso?

A sequência também aparece na economia e no rastreamento da genealogia das abelhas masculinas. É amplamente utilizado em ciência da computação, onde é usado para gerar números aleatórios perceptíveis por algoritmos chamados Geradores de números pseudo- aleatórios. Eu uso perceptivelmente porque os números gerados não são verdadeiramente aleatórios; eles sempre dependem de uma entrada anterior.

Ele também é usado na classificação de algoritmos nos quais dividir a área em proporções que são dois números de Fibonacci consecutivos e não duas partes iguais. Isso torna a busca de um local nas operações matemáticas mais simples - adição e subtração. Considerando que, a classificação binária (dividindo-se em duas partes iguais) requer o uso de multiplicação, divisão e mudança de bit. A sequência também é usada para derivar várias outras importantes identidades matemáticas. No entanto, sua aplicação mais importante é encontrada em nossos jardins.

A espiral de Fibonacci

O Partenon. (Crédito da foto: Flickr)

Os gregos acabaram descobrindo essa essência. Segundo eles, a maneira mais bonita de dividir uma linha em duas partes é dividi-las em uma proporção tal que a parte mais longa dividida pela parte mais curta é igual ao todo dividido pela parte mais longa. Eles chamaram isso de Proporção Áurea, e seu valor é de 1, 618

.

Consequentemente, eles basearam sua arte e arquitetura nessa proporção. Um exemplo é a arquitetura do Parthenon, cujos lados estão na proporção áurea. Até os artistas da Renascença estavam em conluio entre si sobre o uso dessa proporção. Uma infinidade de obras de arte depende da proporção para ampliar seu apelo estético.

O que essa relação preciosa tem a ver com os números de Fibonacci? Kepler observou uma vez que “como 5 é a 8, assim é 8 a 13, praticamente, e como 8 é a 13, então é 13 a 21 quase.” A relação de dois números consecutivos de Fibonacci é aproximadamente igual a * clamps incipientes lentos * proporção áurea! Isso liga os números de Fibonacci a uma das espirais mais reconhecidas na Internet.

Os quadrados dos números de Fibonacci podem ser escritos assim:

1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441

.

Nada misterioso? Vamos adicionar um monte deles juntos:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

Olhe mais de perto e você notará que 6 é o produto de 2 e 3, 15 um produto de 3 e 5 e 40 um produto de 5 e 8. Uma relação conjugal entre os números de Fibonacci e a proporção áurea torna-se evidente - os dois números constituindo estes produtos são consecutivos números de Fibonacci! Agora, vamos realizar a soma acima pictoricamente. Cada número ao quadrado pode ser representado por um quadrado cujo lado mede o mesmo número de unidades que está sendo quadrado.

Então, o quadrado de um é representado por um quadrado de uma unidade lateral. Este quadrado é então adicionado ao próximo quadrado da seqüência - outro quadrado da unidade um lado. Em seguida, o retângulo 1 × 2 é adicionado a um quadrado de duas unidades laterais, que depois é adicionado a um quadrado de três unidades laterais e assim por diante. Percebemos que os produtos eram, na verdade, as áreas desses retângulos emergentes.

Como os produtos eram números consecutivos de Fibonacci, pode-se discernir que a proporção dos dois lados de qualquer retângulo é a proporção áurea! À medida que o número de somas se aproxima do infinito, a proporção de lados do retângulo crescente do operador histórico aproxima-se do valor exato da razão. Uma curva que emana do centro e passa pelos cantos de cada quadrado gradualmente se transforma em uma espiral - a espiral dourada, constantemente se desviando em um ângulo chamado de ângulo de ouro.

Espiral dourada em um escudo do nautilus (nautilus Cutaway Logarithmic Spiral) e um cone do pinho. (Crédito da foto: Chris 73 / Wikimedia Commons & Pixabay)

A espiral dourada pode ser encontrada em uma infinidade de lugares na natureza, desde a forma de nossa galáxia até uma concha de nautilus. Governa o arranjo de pinhas e os frutos de um abacaxi. Meu favorito é a sua ocorrência no arranjo de sementes desordenadas no centro de um girassol. No entanto, usar o termo "desordem" seria vergonhosamente negligenciar a magnitude do rigor que a natureza gastou enquanto organizava essas sementes.

As sementes de um girassol divergem no ângulo de ouro. (Crédito da foto: Remi Jouan / Wikimedia Commons)

As sementes não estão alinhadas como os raios de uma roda; eles gradualmente se desviam para fora. O ângulo de digressão é o ângulo de ouro. Parece que a natureza voluntariamente optou por essa razão porque dividir o círculo por um número irracional não fez com que nenhuma semente tivesse um vizinho no mesmo ângulo do centro. Isso resultou em uma embalagem altamente eficiente, deixando quase sem espaço negativo. O número de espirais, você pergunta? 55 em uma direção, 89 na outra. Ambos os números de Fibonacci, claro!